> какой орган занимается исполнением судебных решений?
... Vollstreckungsorgan, а исполняет - Gerichtsvollzieher.
> Какой порядок обращения в этот орган?
... в районный суд (=Bezirksgericht) подаётся "Antrag auf Bewilligung der Zwangsvollstreckung".
Решение (Bewilligung der Zwangsvollstreckung) принимает Richter или Rechtspfleger.
> Каким законом установлен этот порядок?
... Exekutionsordnung.